Greek Statistics

Διαβάσατε ίσως, γιατι να το είδατε στην τηλεόραση το ψιλοαποκλείω, ότι τα νούμερα στις εκλογές της ΝΔ ήταν κάπως πειραγμένα.

Η κυριότερη αιτιολογία ειναι ότι η πιθανότητα του να σκάσουν στρογγυλοποιημένα τα νούμερα και στους 4 υποψηφίους ειναι πολύ μικρή (πρωτη εκτίμηση 1 στα 64 εκατομμύρια, αλλά μάλλον ειναι χειρότερη) αλλά αυτο δεν ειναι το αποφασιστικό βήμα. Βλέπετε οποιοδήποτε αποτέλεσμα, μέχρι να πραγματοποιηθεί, και οποιαδήποτε δεκαδικό υπόλοιπο έχει την ίδια ακριβώς πιθανότητα - τουτέστιν όλα τα αποτελέσματα ειναι ομοιως πιθανά ή απίθανα (στατιστικά) μέχρι να συμβούν. Το 38,200 του Μεϊμαράκη ειναι ομοίως πιθανό ή απίθανο με το 38,201, το 38,202 και ούτω καθεξής.

Βεβαίως η απόλυτη ακρίβεια σε μια μέτρηση ειναι κάτι σπάνιο, πόσο μάλλον όταν πρόκειται για 4 υποψηφίους και εκεί ειναι ο καυγάς.

Παρομοιάστηκε η περίπτωση με το να πάω στον μπακάλη και να ζητήσω "250 γρ τυρί, 250 γρ σαλάμι" κτλ και να μου σκάσουν 250,00 γρ απο το καθένα ακριβώς, λες και ψώνιζα από πρεζέμπορα. Εδώ θα πρόσθετα ότι η απαίτηση ειναι ακόμα πιο πολύπλοκη. Ήτοι η απαίτηση να έχουμε ολοστρόγγυλο άθροισμα, το 100% των εγκύρων δηλαδή. Σαν να λες στον υποθετικό μπακάλη του προηγούμενου παραδείγματος "Βάλε μου ένα κιλό συνολικά απο 4 υλικά. Αν σου βγει κάτι πάνω ή κάτω από ακριβώς 1000,00 γρ πέτα το ή πρόσθεσε". Και στο τέλος να ζυγίσουμε το κάθε υλικό ξεχωριστά και να βγεί ακριβώς 250,00 γρ. 

Πιο κοντά στο παράδειγμά μας, ο μπακάλης βάζει ότι να 'ναι από τυρια, σαλάμια κτλ, κόβει - ράβει μέχρι η σούμα να βγει ακριβώς 100,000 γρ και το μετράει με ζυγαριά ακριβείας, που μετράει μέχρι και το χιλιοστό του γραμμαρίου. Και βγαίνει το τυρί (Μεϊμαράκης) ακριβώς 382,000 γραμμάρια. Ίδια ακρίβεια παρατηρείται και στο σαλάμι κτλ κτλ. Ε, δεν το λες και πιθανό αποτέλεσμα.

Η ακρίβεια.

Η ερώτηση όμως ειναι ποια είναι η ακρίβεια της μέτρησης; Μια ζυγαριά μπακάλικου μπορεί να μετρήσει  διαφορές βάρους mgr; μgr; Μορίων; Ποια ειναι η διακριτική ικανότητα που έχουμε; Στο υποτιθέμενο δείγμα η διακριτική ικανότητα προφανώς ειναι ο ένας ψηφοφόρος, καθότι ακόμα δεν βρέθηκαν δεκαδικοί ή κλασματικοί ψηφοφόροι δηλαδή ο αριθμός των ψήφων ειναι κβαντισμένος ακέραιος. Στο υποτιθέμενο δείγμα των 404.078 εγκύρων το % που αντιστοιχεί σε έναν υποψήφιο ειναι: 0,00024748% με ακρίβεια 8 δεκαδικών ψηφίων. Κοινώς είναι πολύ δύσκολο να βρούμε στρογγυλοποιημένο "σε άπειρο πλήθος ψηφίων" δείγμα πέρα από τα 3 δεκαδικά ψηφία διότι η ίδια η μονάδα μέτρησης δεν το επιτρέπει. Οποιαδήποτε ποσοστό σκάσει θα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο αυτού του  0,00024748%, πχ οι ψήφοι του Τζιτζικώστα που λέγεται ότι ειναι 82.028 πολλαπλασιασμένοι με το "μέτρο" του  0,00024748%  μας δινουν 20,30004108% το οποιο στρογγυλοποιείται στο 20,3% κατόπιν.

Οπότε μια τέτοια  εικόνα είναι κάπως αναμενόμενη:

Το πιο πάνω αποτελεί, αν δεν το καταλάβατε, εξαιρετική ένδειξη νοθείας και όχι το αντίθετο, καθώς σε μια μέτρηση που το μέτρο ειναι τόσο μικρό (χρειαζόμαστε 18 δεκαδικά ψηφία για το μέτρο συν τα 2 από την αναγωγή στα 100 για να τελειώσει η διαίρεση), το να σκάσει ολοστρόγγυλο το 2ο έως το 5ο ψηφίο σε όλους τους υποψήφιους ειναι κάπως σπάνιο. Εν τω μεταξύ είναι και πρακτικά αδύνατον να είναι ακριβώς τέτοιο μιας και ακριβώς 0,1% δεν δίνει ακέραιος αριθμός ψήφων (το 0,1% αντιστοιχεί σε 404,078 ψηφοφόρους ακριβώς).

Ειναι σαν να μαζεύεις σταγόνες με έναν...κουβά και σε 3 από τις 4 κουβαδιές (η 4η βγαίνει απο την αφαίρεση απο το 100 των υπολοίπων) να πιάνεις ακριβές πολλαπλάσιο του εκατομμύριου. Οχι 38 εκ και 7 σταγόνες, αλλά 38 εκ σταγόνες ακριβώς η πρώτη, 22εκ ακριβώς η 2η 35 εκ ακριβώς η τρίτη. Ε δεν γίνεται.

Μια ματιά στα αποτελέσματα

Αξίζουν συγχαρητήρια στον @aniparktos που το είδε και με έπεισε, παρά τις αρχικές αντιρρήσεις μου, πως έγινε λαθροχειρία.

εικόνα από εδώ

@aeisixtir δες αυτό και πες μου pic.twitter.com/yOJInYzLJz

— aniparktos (@aniparktos) December 23, 2015

Αφού πείστηκα λοιπον πως υπάρχει βάση στον προβληματισμό του, είπα να το ψάξω λιγάκι.

Ας δούμε τα αποτελέσματα με 5 δεκαδικά ψηφία (5 ψηφία εμφανίζονται, οι πράξεις γίνονται με όλα τα ψηφία), αλλά αυτή τη φορά θα κάνουμε το εξής. Θα αφαιρέσουμε τις διαφορές από το απολυτα ακριβές ποσοστό στα 2 δεκαδικά ψηφία και θα προσθέσουμε τις απόλυτες τιμές των διαφορών. Δηλαδή θα βρούμε τις αποστάσεις των τιμών που έχουμε, από τις "στρογγυλοποιημένες", δηλαδή θα αφαιρέσουμε το 38,20 του Βαγγέλη από το "πραγματικό" 37,79999, θα πάρουμε την απόλυτη τιμή, θα κάνουμε το ίδιο σε όλους και θα δούμε το άθροισμα των αποστάσεων αυτών. 

Ας πάρουμε τα αποτελέσματα και ας αλλάξουμε μία ψήφο. Να πάρουμε μία ψήφο απο τον Γεωργιάδη και να την δώσουμε στο Μεϊμαράκη και ας ξανακάνουμε το ίδιο.

Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων αυξήθηκε (για την ακρίβεια, σχεδόν πενταπλασιάστηκε). 

Συμπέρασμα: Μάλλον οι αριθμοί ψήφων που βγήκαν είναι τέτοιοι ώστε οι αποστάσεις τους απο τα "στρογγυλά" δεκαδικά να είναι οι μικρότερες δυνατές και ταυτόχρονα οι ψήφοι να είναι ακέραιος αριθμός. Με ένα τόσο μικρό κβάντο υπάρχουν χιλιάδες χιλιάδων τιμές ψήφων (περίπου 74000  (νέος υπολογισμός) 69000 πιθανές παραλλαγες από τα δισεκατομμύρια διαθέσιμων δίνουν το ίδιο στρογγυλό σκορ ) που θα έδιναν την ίδια στρογγυλοποιηση (και το κάνουν). Η τόσο κοντινή όμως τιμή ψήφων στο "επιθυμητό" αποτέλεσμα αποτελεί σαφέστατη ένδειξη (περισσότερο από την απιθανότητα, που είπαμε, δεν λέει και τόσα πολλά πραγματα) ότι τα νούμερα είναι χαλκευμένα (παρεμπιπτόντως αν αφαιρέσεις μια ακόμα ψήφο απο τον Μητσοτάκη αυτήν την φορά και την προσθέσεις στον Τζιτζικώστα, δηλαδή αν πειράξεις συνολικά δύο ψήφους, βρίσκεις ακόμα μικρότερη απόκλιση. Update: Αυτό όμως απομακρύνει "περισσότερο" τον Μητσοτάκη απο το επιθυμητό αποτέλεσμα απο το οποίο ήδη ειναι απο κάτω, κάτι που λογικά δεν το θέλουμε :) Tελος Update).

Update: Τελικά δεν πρεπει να ισχύει η οδός της ελάχιστης συνολικής απόκλισης, αλλά της ελάχιστης απόκλισης καθενός υποψηφιου ξεχωριστά. Έστω και έναν ψήφο να αλλάξεις σε κάθε υποψήφιο, είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω, απομακρύνεται από το στρογγυλοποιημενο σκορ και συνολική απόκλιση ειναι απλά ένδειξη. Τέλος Update

Η πιθανότητα όχι μόνο οι αριθμοί να είναι τέτοιοι ώστε να στρογγυλοποιούνται όλοι στο 1ο δεκαδικό αλλά και οι τιμές των ψήφων να είναι τέτοιες ώστε να ελαχιστοποιούν την συνολική απόκλιση ή την κατά μονας απόκλιση ειναι τόσο μικρή που καταντά πλέον ανέκδοτο.

Από όλες τις δυνατές τιμές ψήφων που δίνουν στον Μεϊμαράκη στρογγυλοποιημένο ποσοστό 38,20% (από 160.802 έως 160.843 ψήφους) ⁽¹⁾ μάλλον επιλέχθηκε η τιμή, που αν συνδυαστεί κατάλληλα με τις τιμές των υπολοίπων υποψηφίων, δίνει αθροιστικά την μικρότερη δυνατή απόκλιση από το επιθυμητό. Και είναι όντως στο μέσο του διαστήματος που δίνει αυτή την τιμή. Βαρέθηκα να κάνω τους σχετικούς υπολογισμούς για τους άλλους υποψήφιους, αλλά μάλλον το ίδιο ισχύει και γι αυτους (άσκηση για το σπίτι). Δηλαδή από τους ~ 74000 πρακτικά απίθανους συνδυασμούς (οι οποίοι έχουν αθροιστικά πιθανότητα ίση με περίπου 1 στα 64 εκ, ) που δίνουν τα σχετικά αποτελέσματα, μας έτυχε ο ένας που ελαχιστοποιεί και την απόκλιση. Αν ισχύει αυτό η πιθανότητα είναι πλεον αστρονομικά μικρή, τόσο μικρή που καταντά ανέκδοτο.

Ένα πιο λογικοφανές σενάριο.
(Το σενάριο αυτό ειναι τελείως υποθετικό και χρησιμοποιείται σαν προσωπική άσκηση. Δεν θεωρώ ότι έγινε κάτι τέτοιο. Όχι τίποτε άλλο αλλά σουρνωνται και μηνύσεις)

Υπάρχει βεβαίως η 1 στα 64.000.000 (περίπου) πιθανότητα να έκατσε το νούμερο έτσι. Αλλά γνωρίζοντας την "αγάπη" που έχουν οι πολιτικοί μας για την ακρίβεια και τους αριθμούς μπαίνουμε στον πειρασμό να φτιάξουμε ένα άλλο σενάριο:

* Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι οι ψήφοι που μετρήθηκαν τελικά ήταν λιγότεροι από τις διαφημιζόμενες 400.000 και βάλε. Ας υποθέσουμε πως δεν ήταν σκανδαλωδώς μικρο το νούμερο (πχ δεν λέμε πως ήταν οι μισοί) αλλά δεν ξεπέρασε και το ψυχολογικό όριο των 400 χιλιάδων (υπάρχει το ακόμα πιο υποθετικό σενάριο πως δεν φτάσανε όλα τα αποτελέσματα από όλα τα εκλογικά τμήματα, αλλά χλωμο το βλέπω. Φαξ ή όχι φαξ, η online καταμέτρηση αποκλείεται να μην έγινε, έστω και με καθυστέρηση). Ας βάλουμε το υποθετικό ποσό των 354.379 έγκυρων ψηφοφόρων, δεν βάλαμε "στρογγυλό" νούμερο για να μην μας πάρουν με τις πέτρες ⁽²⁾. 

Μια υποθετική κατανομή θα μπορούσε να είναι αυτή:

Οι ταγοί της ΝΔ έκριναν πως δεν θα ήταν σωστό να δείξουν τους αριθμούς έτσι πεσμένους, μετά από τόσο πανηγύρι στα κανάλια και τους φούσκωσαν. 

* Οι υποψήφιοι όμως έβαλαν (οι δύο πρώτοι για προφανείς λόγους, ο Τζιτζι για να μην φανεί χειρότερος και ο Άδωνης από το φόβο της ξεφτίλας) το προφανές βέτο: τα ποσοστά τους να μην αλλαχθούν. Έτσι και έγινε.

* Παραπέρα το πράγμα πάει μόνο του. Όπως κάναμε και μεις, επέλεξαν έναν "τυχαίο" αριθμό που να είναι πάνω από τις 400 χιλιάδες σαν στόχο και έκαναν τις πράξεις αντίστροφα, με την διαφορά ότι στο copy paste των ποσοστών δεν έβαλαν το πλήρες ποσοστό αλλά την σύντμησή του στο 1ο δεκαδικό. Δηλαδή, στο παράδειγμά μας, αντι για το 39,83 του Μεϊμαράκη έβαλαν 39,8 κ.ο.κ. και το έκαναν με το χέρι, όχι με copy-paste γιατί το copy paste, όπως και αν εμφανιζόταν θα είχε την πραγματική τιμή του ποσοστού (πχ για τον Μεϊμαράκη το 39,8333 κτλ).
(Update: Η διάγνωση ειναι ότι στην ΝΔ δεν ξέρουν την "Επικόλληση τιμών" που κρατάει όλο τον αριθμό και όχι τους μαθηματικούς τύπους από τους οποιους προέρχεται και κάνανε αρχικά σκέτη επικόλληση η οποια όμως μεταφέρει τους μαθηματικούς τύπους και όχι τους αριθμούς με αποτέλεσμα να τους βγει σφάλμα αναφοράς. Καπου εκεί ο ..."ειδικός" είπε ένα "γάμησε το και βάλτο με το χέρι". Τέλος Update)

Οι αριθμοί που εμφανίστηκαν προφανώς περιείχαν ....δεκαδικούς ψηφόρους, οπότε έγινε η σχετική στρογγυλοποίηση (που αυτη μας έβαλε όλους στο γκεζί) στον κοντινότερο ακέραιο, προσέχοντας να μην γίνει καμια μαλακία και βγεί η βάση περισσότερο από 100%.

* Και βουαλά, βγήκε ο Τραγάκης και ανακοίνωσε τα αποτελέσματα, μετά το πέρας του 48ωρου που θα μπορούσε κάποιος να τα διασταυρώσει με τα στοιχεία της vodafone η οποια πλεον τα είχε σβύσει.. Δεν ανακοίνωσε ποσά λευκών και ακύρων, δηλαδή δεν ανακοίνωσε τον συνολικό αριθμό των ψηφοφόρων διότι ...αυτό δεν μας αφορά και ήταν η πρώτη φορά σε αποτέλεσμα εκλογών που επίσημα ανακοινώθηκαν πρώτα τα ποσοστά και μετά οι ψήφοι:

Πως θα το έκανα εγώ
Είτε θα κρατούσα ολόκληρο το αρχικό ποσοστό, είτε θα πείραζα λίγο τους ψήφους στο τελικό excel χαλώντας τα ποσοστά των υποψηφίων έτσι ώστε να μην υπάρχει αυτή η φανερή τακτοποίηση. Αλλά μάλλον αυτά ειναι δύσκολα για τους τεχνολογικούς φωστήρες της ΝΔ

Outro
Δεν θα ασχολιόμουν καθόλου με την υπόθεση, επειδή η βασική μου παραδοχή είναι ότι τα ποσοστά των υποψηφίων δεν αλλάχθηκαν και η "νοθεία" δεν επηρέασε το τελικό αποτέλεσμα. Οι υποψήφιοι ειχαν ανθρώπους μέσα στην ΚΕΦΕ και τελος πάντων δεν είχαν λόγο να αλλάξουν, δραματικά τουλάχιστον, το σκορ. Εγείρονται όμως δυο σημαντικά ερωτήματα:

* Τι σκατά την θέλανε την vodafone αμα ήταν να μετράνε μόνο τα αποτελέσματα με fax; Γιατί δεν βγήκαν ποτέ έστω και μερικά αποτελέσματα απο την vodafone, έστω στο 95% των τμημάτων; Δυστυχώς η απάντηση ειναι αυτή:

Η vodafone επιστρατεύτηκε για να αποθηκευτούν τα στοιχεία των ψηφοφόρων, όσοι και αν ήταν αυτοί και όχι για να γίνουν εκλογές. Οι ευτυχείς ψηφοφόροι θα ανακαλύψουν διάφορα χαριτωμένα παρελκόμενα, όπως:
α) να τους πρήζουν οι υποψήφιοι σε κάθε εκλογές και πιθανόν
β) να "ελέγχεται" η κομματική συμπεριφορά τους.

* Σημαντικότερο. Οι ψηφοφόροι της ΝΔ έδωσαν 3 ευρώ για να ψηφίσουν. Αυτά πολλαπλασιασμένα με τον αριθμό των 400.000 ψηφοφόρων μας κάνουν 1.200.000 ευρώ. Με τον αριθμό των ψηφοφόρων να είναι άγνωστος πόσα χρήματα εισπράχθηκαν; Υπάρχει το υπόλοιπο του ποσού, δεδομένου ότι η αμοιβή της vodafone είναι γνωστή; Αν το πιο πάνω σενάριο ειναι αληθές, και με την ΝΔ να χρωστάει και της Μιχαλούς, ποιος έβαλε τα παραπάνω λεφτά;

---

⁽¹⁾ Παρατηρήστε το χαριτωμένο πως χρειάζονται σαρανταδύο (42) ψήφοι για να αλλάξουμε δεύτερο δεκαδικό ψηφίο :)

⁽²⁾ Το ίδιο θα σκέφτηκαν προφανώς και οι Νεοδημοκράτες όταν αποφάσισαν να αλλάξουν τους αριθμούς